Das Extremum von x^4 ist ein Minimum bei x = 0. Dies liegt daran, dass die Funktion eine gerade Potenz ist und daher symmetrisch um die y-Achse ist. Da die Funktion nach oben geöffnet ist, hat sie bei x = 0 ein Minimum. **

Um das Extremum und Minimum einer Funktion abzulesen, musst du zuerst die Ableitung der Funktion bilden. Dann setzt du die Ableitung gleich null und löst die Gleichung nach x auf. Die gefundenen x-Werte sind die Kandidaten für Extremstellen. Um zu überprüfen, ob es sich um ein Minimum oder Maximum handelt, kannst du die zweite Ableitung bilden und an den gefundenen x-Werten auswerten. Ist die zweite Ableitung positiv, handelt es sich um ein Minimum, ist sie negativ, handelt es sich um ein Maximum. **

Die letzte Zeche im Ruhrgebiet, die Zeche Prosper-Haniel in Bottrop, schloss am 21. Dezember 2018 ihre Tore. Dies markierte das Ende einer Ära für die Kohleindustrie in der Region. Nach über 150 Jahren des Kohleabbaus war dies ein historischer Moment für das Ruhrgebiet. Die Schließung der Zeche Prosper-Haniel war Teil des Ausstiegs aus der Kohleindustrie in Deutschland und ein wichtiger Schritt hin zu einer nachhaltigeren Energieversorgung. **

Welche Zeche im Ruhrgebiet kann man besichtigen? Im Ruhrgebiet kann man die Zeche Zollverein besichtigen, die als eines der bedeutendsten Industriedenkmäler Europas gilt. Die Zeche Zollverein war einst eine der größten und modernsten Steinkohlezechen der Welt und ist heute ein UNESCO-Welterbe. Besucher können dort das Gelände erkunden, an Führungen teilnehmen und die beeindruckende Industriearchitektur bewundern. Die Zeche Zollverein bietet somit einen spannenden Einblick in die Geschichte des Bergbaus im Ruhrgebiet. **

Das Vorzeichenwechsel-Kriterium ist eine Methode, um die Anzahl der Extremstellen einer Funktion zu bestimmen. Dazu betrachtet man die Vorzeichen der Funktionswerte an den Stellen, an denen die Ableitung der Funktion Null ist. Wenn es an einer Stelle einen Vorzeichenwechsel gibt, liegt dort ein Extremum vor. Die genaue Berechnung des Extremums erfolgt jedoch durch weitere Methoden wie beispielsweise dem Setzen der Ableitung gleich Null und der Überprüfung der zweiten Ableitung. **

Um den Kandidaten für ein Extremum bei einer Steckbriefaufgabe zu überprüfen, muss man die Ableitung der Funktion bilden und die kritischen Punkte bestimmen. Anschließend kann man die Werte der Funktion an den kritischen Punkten und den Randpunkten des Definitionsbereichs vergleichen, um festzustellen, ob es sich um ein Maximum oder Minimum handelt. **

Ja, es gibt Funktionen dritten Grades, die genau ein lokales Extremum haben. Ein Beispiel dafür ist die Funktion f(x) = x^3, die ein Minimum bei x = 0 hat. **

Die letzte Zeche im Ruhrgebiet, die Zeche Prosper-Haniel in Bottrop, schloss ihre Tore am 21. Dezember 2018. Dies markierte das Ende einer Ära, die über 150 Jahre lang das wirtschaftliche und kulturelle Leben im Ruhrgebiet geprägt hat. Der Strukturwandel weg von der Kohleindustrie hin zu anderen Wirtschaftszweigen war eine große Herausforderung für die Region. Heute sind viele ehemalige Zechenstandorte zu Industrieparks, Museen oder Erholungsgebieten umgewandelt worden. Wann hat die letzte Zeche im Ruhrgebiet geschlossen? **